1. 二重极限（多重极限）#

二元函数的二次极限是指在二元函数的定义域中，当自变量沿着某个路径¹无限趋近于某一点时（简单来讲，当两个自变量同时趋于某个值时），函数的极限值。

换句话说，二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的二次极限为 $L$，当且仅当对于任意以 $(x_0, y_0)$ 为极限的点列 $(x_n, y_n)$，当 $(x_n, y_n)$ 沿着任何一条路径趋近于 $(x_0, y_0)$ 时，$f(x_n, y_n)$ 都趋近于 $L$。

二次极限的概念是对函数在某一点处的极限的推广，对于二元函数²，我们需要考虑自变量沿着任意路径趋近于某一点，因为沿着不同路径趋近于某一点可能会得到不同的极限值。这一点在之后的偏导数中有所体现。

2. 二次极限（累次极限）#

累次的思想是先固定一个变量，然后让另一个变量趋于某个值，得到一个中间结果，再让固定的变量趋于另一个值，得到最终结果。

套用这个思想，对一个二元函数的某一点处，先对一个自变量取极限，再对另一个自变量取极限，得到的极限值就是这个函数的二次极限。这个过程是逐次进行的，每次只对一个自变量取极限。需要注意的是，求极限的顺序可能会影响结果。

也就是说，对于一个二元函数 $f(x,y)$，我们可以先对 $x$ 取极限，然后再对 $y$ 取极限，得到： $\lim_{y\to b}\left(\lim_{x\to a}f(x,y)\right)$ 其中 $a$ 和 $b$ 是该函数的定义域内的某些值。

3. 累次极限和多重极限的区别#

多重极限是指一个多元函数在一个点 $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 的所有自变量同时趋近于这个点时的极限，也就是说，它涉及到所有自变量的同时趋近，用符号表示为：

$\lim_{(x_1,x_2,\dots,x_n)\to (a_1,a_2,\dots,a_n)}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$

而累次极限则是一个逐步逼近的过程，先对一个自变量取极限，再对另一个自变量取极限，以此类推。它的过程是按照自变量的顺序逐层进行的，用符号表示为：

$\lim_{x_n\to a_n}\lim_{x_{n-1}\to a_{n-1}}\dots\lim_{x_1\to a_1}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$

多重极限和累次极限的本质区别在于

多重极限考虑的是所有自变量同时趋近于极限点，而累次极限则是逐步逼近，按照自变量的顺序逐层取极限。

需要注意的是，多重极限和累次极限并不总是相等，因为它们是不同的极限过程。

1. 连续#

一个二元函数在某一点连续是指函数在某一点的极限值等于该点的函数值。

更具体和符号化一些，对于一个二元函数 $f(x,y)$，如果在某个点 $(a,b)$ 处，当 $(x,y)$ 趋近于 $(a,b)$ 时，函数值 $f(x,y)$ 也趋近于 $f(a,b)$，那么我们称这个函数在点 $(a,b)$ 处连续。换句话说，如果 $\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y) = f(a,b)$，那么 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处连续。

如果一个二元函数在其定义域内每一个点都连续，我们称这个函数是连续的。

2. 间断#

二元函数的间断可以分为三种类型：

1. 第一类间断点：当 $(x,y)$ 趋近于 $(a,b)$ 时，函数的极限存在，但与 $f(a,b)$ 不相等。这种间断点也被称为可去间断点。

2. 第二类间断点：当 $(x,y)$ 趋近于 $(a,b)$ 时，函数的极限不存在或者为无穷大，例如函数在该点附近震荡不定，没有确定的极限值。这种间断点也被称为跳跃间断点。

3. 第三类间断点：当 $(x,y)$ 趋近于 $(a,b)$ 时，函数的极限既不存在，又无穷大。这种间断点也被称为无穷间断点。

当一个二元函数在某个点 $(a,b)$ 处不满足连续性时，我们称该函数在 $(a,b)$ 处出现了间断或者说是不连续。

3. 连续的性质#

一些性质可以帮助我们判断一个二元函数是否连续：

1. 二元函数在定义域内每一个点都连续。

2. 如果两个二元函数都在某个点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也在该点连续。

3. 一个多项式函数在其定义域内是连续的。

4. 一个有理函数在其定义域内除了它的极点外都是连续的。

5. 一个三角函数或者指数函数在其定义域内都是连续的。

6. 复合函数的连续性：若 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 连续，而 $g(u,v)$ 在 $(f(a,b),c)$ 连续，则复合函数 $h(u,v) = g(f(u,v), c)$ 在 $(a,b)$ 连续。

4. 函数光滑#

函数光滑通常指的是函数在其定义域内具有良好的连续性、可导性和高阶可导性。

也就是说，这个函数可以在其定义域内无限次可导，它的导函数在定义域内连续，没有任何断点或者角点³。

从视觉上说，如果函数在某个点处光滑，函数在该点附近的变化不会出现突然的变化或者角度，而是呈现出一种平滑的变化趋势。

在数学上，我们通常用函数的导数来描述其光滑性。当函数在定义域内每一个点都可导时，我们称这个函数是光滑的。特别地，如果函数在定义域内的导函数也连续，我们称这个函数是光滑可微的。

连续和光滑是不同的概念。一个函数在某个点处连续不一定光滑，也就是说一个连续的函数在某个点处仍然可能存在不可导的点，而光滑的函数在定义域内一定是连续的⁴

5. 二元连续函数的性质#

有界闭区间区域上的二元连续函数与闭区间上的一元连续函数有类似的性质

• 有界性定理

  如果函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，那么函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 内必定有界；即存在常数 $M$，使得 $|f(x,y)| \leq M$。

• 最值定理

  如果函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，那么函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 内必定有最大值和最小值；即存在 $(x_0,y_0) \in D$，使得 $f(x_0,y_0) \geq f(x,y)$ 对于所有 $(x,y) \in D$ 成立，并且存在 $(x_1,y_1) \in D$，使得 $f(x_1,y_1) \leq f(x,y)$ 对于所有 $(x,y) \in D$ 成立。

• 零点存在定理

  如果函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，并且 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界上不变号，那么函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 内必定存在至少一个零点；即存在 $(x_0,y_0) \in D$，使得 $f(x_0,y_0) = 0$。

• 介值定理

  如果函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，那么对于任意 $a \in [f_{\min},f_{\max}]$，都存在 $(x_0,y_0) \in D$，使得 $f(x_0,y_0) = a$；其中 $f_{\min}$ 和 $f_{\max}$ 分别是函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最小值和最大值。