1. 概念#

对于多元函数 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$，偏导数是指在其他变量不变¹的情况下，只对其中一个变量求导数的过程，可以用下面的符号来表示：

$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1,x_2,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,x_2,\dots,x_i,\dots,x_n)}{h}$

其中，$x_i$ 表示要对其求偏导数的自变量，其他自变量 $x_j, j\neq i$）保持不变，$h$ 是自变量 $x_i$ 的增量。

偏导数表示函数在某个方向上的变化率，也就是函数在某个自变量上的变化情况。

2. 计算#

只要懂一元函数怎么求导，那么在求一个多元函数的某个偏导数时就应该没有问题。我们举个简单的例子。

设二元函数$f(x,\ y) = x^2 + y$。对于 $f(x,y)$，我们可以分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数，记为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，分别表示函数 $f(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的变化率。

对 $x$ 求偏导数，可以将 $y$ 视为常数，得到：

$\qquad \qquad \frac{\partial f}{\partial x}=2x$

这表示当 $x$ 增加一个小量时，$f(x,y)$ 的增加量约为 $2x$ 倍的这个小量。

对 $y$ 求偏导数，可以将 $x$ 视为常数，得到：

$\qquad \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=1$

这表示当 $y$ 增加一个小量时，$f(x,y)$ 的增加量为 $1$ 倍的这个小量。

因此，$f(x,y) = x^2 + y$ 的两个偏导数分别为 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y} = 1$。 也可以简写作 $f_x=2x$ 和 $f_y = 1$

1. 概念#

在多元函数的情况下，除了一阶偏导数（即对单个变量求偏导数），还可以定义更高阶的偏导数，这些偏导数分别对应着函数在各个方向上的变化率。

二阶偏导数是指对某个自变量求两次偏导数，一般用下面的符号表示：

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)$

也可以对不同的自变量求偏导数的混合二阶偏导数：

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)$

类似地，我们还可以定义更高阶的偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。

2. 计算#

我们依然以求一个二阶偏导数为例子，一般方法是先对某个自变量求一次偏导数，然后再对所得到的偏导数对相应的自变量求一次偏导数。以下是求二阶偏导数的具体步骤：

1. 先对函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 中的某一个自变量，比如 $x_i$，求一次偏导数，得到：

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1, x_2, \dots, x_n)$

2. 然后对上述偏导数再求一次偏导数，即对 $x_i$ 求偏导数，得到：

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(x_1, x_2, \dots, x_n)$

3. 如果需要求混合二阶偏导数，比如对 $x_i$ 和 $x_j$ 求偏导数，可以先对 $x_i$ 求偏导数，再对所得到的偏导数对 $x_j$ 求偏导数，得到：

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_1, x_2, \dots, x_n)$