1. 空间曲线的切线#

在高等数学中，空间曲线的切线可以定义为曲线上一点处的 切向量 。切向量是与曲线在该点相切的向量，它的方向是曲线在该点的切线方向，而它的大小则取决于曲线在该点的曲率。

更具体地说，假设有一条参数方程为 $\mathbf{r}(t)=(x(t),\ y(t),\ z(t))$ 的空间曲线，其中 $t$ 是曲线的参数。如果在该曲线上选择一个点 $\mathbf{r}(t_0)$ ，则曲线在该点的切向量为：

$\mathbf{r}'(t_0) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}\bigg|_{t=t_0}=\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=t_0} \cdot \mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=t_0} \cdot \mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\bigg|_{t=t_0} \cdot \mathbf{k}$ 其中， $\mathbf{i}$ 、 $\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 分别是 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 轴上的单位向量。 或者在一般我们可以直接简写为：

$\mathbf{r}'(t_0)=(x'(t_0),\ y'(t_0),\ z(t_0))$

因此，曲线在点 $\mathbf{r}(t_0)$ 处的切线方向就是 $\mathbf{r}'(t_0)$ ，而曲线在该点的切线则是由 $\mathbf{r}(t_0)$ 和 $\mathbf{r}'(t_0)$ 确定的直线： $L_T = r(t_0) + t_1r'(t_0)$

2. 光滑曲线#

光滑曲线 是指在参数区间内处处存在切向量的连续可微曲线，其中 切向量的连续性 是指在曲线上连续点之间的切向量之间不存在间断。也就是说，对于光滑曲线上的任何一点，都存在一个切向量，且在该点附近曲线的方向不会出现突变。

切向量在描述光滑曲线方向时起着重要的作用。由于切向量是与曲线相切的向量，它描述了曲线在该点的切线方向。对于光滑曲线而言，由于切向量连续且不存在间断，因此曲线在任意相邻点之间的切线方向都是相似的，这使得曲线在整个区间内的方向变化是连续的。

另外，切线在描述光滑曲线性质时也非常重要。曲线在某点的切线可以用该点处的切向量来表示，而切线的斜率则可以用切向量的导数来表示。这些导数也被称为 曲率 ，它们描述了曲线的弯曲程度。对于光滑曲线而言，切向量的连续性保证了曲率的连续性，因此曲线的弯曲程度在整个区间内是连续变化的。

3. 曲率#

对于曲线 $\mathbf{r}(t)$ ，其切向量为 $\mathbf{r}'(t)$ ，则曲率向量为

$\mathbf{r}''(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}\right)=\frac{d\mathbf{r}'(t)}{dt}$

其中， $\mathbf{r}''(t)$ 表示曲线在参数为$t$的点处的曲率向量。

曲率向量的大小称为曲率，记作$k(t)$，表示曲线在该点处的弯曲程度。曲率的计算公式为：

$k(t) = \frac{\left|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\right|}{\left|\mathbf{r}'(t)\right|^3}$

其中， $\times$ 表示向量的叉积。

4. 空间曲线的法平面#

空间曲线的法平面就是垂直于某点处切向量的平面，它由曲线在该点处的切向量所确定。

具体地说，设空间曲线为 $\mathbf{r}(t)$ ，设 $\mathbf{r}'(t_0)$ 是曲线在参数为 $t_0$ 的点 $M_0$ 处的切向量。 则曲线在点 $M_0$ 处的法平面方程

$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$

1. 曲面的切平面#

曲面的切平面 是在曲面上某一点处与曲面切线相切的平面。

我们接下来通过求解曲面的切平面来侧面体现切平面的定义：

通常我们将曲面方程表示为 $F(x, y, z) = 0$ 的形式。在求解切平面时，我们需要先选择曲面上的某个点 $P$，然后求出该点处的法向量 $\mathbf{N}$ 和切向量 $\mathbf{T}$。

法向量 $\mathbf{N}$ 表示曲面在该点处的垂直方向，其可以通过对曲面方程求梯度得到。具体来说，我们可以计算曲面方程在点 $P$ 处各个方向上的偏导数，然后将它们放在一起组成一个向量，即可得到该点处的法向量 $\mathbf{N}$。即：

$\mathbf{N} = \nabla F(P) = \left(\frac{\partial F}{\partial x}(P), \frac{\partial F}{\partial y}(P), \frac{\partial F}{\partial z}(P)\right)$

切向量 $\mathbf{T}$ 表示曲面在该点处的切线方向，即：

$\mathbf{T} = \left(\frac{\partial F}{\partial x}(P), \frac{\partial F}{\partial y}(P), \frac{\partial F}{\partial z}(P)\right)$

最后，我们可以通过法向量 $\mathbf{N}$ 和切向量 $\mathbf{T}$ 确定切平面的方程。由于法向量 $\mathbf{N}$ 与切平面的法向量垂直，因此切平面的方程可以表示为：

$\mathbf{N} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{P}) = 0$

其中 $\mathbf{r}$ 表示切平面上任意一点的位置，’ $\cdot$ ‘表示向量的点乘运算。将切向量 $\mathbf{T}$ 代入上式中，可得到切平面的方程：

$\frac{\partial F}{\partial x}(P)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(P)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(P)(z - z_0) = 0$

其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 表示曲面上的该点的坐标。

2. 曲面的法线#

曲面的法线是与曲面上一点的切平面垂直的直线或向量。换句话说，曲面上的任何点都有唯一的一条法线，它垂直于该点处的切平面。

具体地，如果曲面 $S$ 可以用方程 $F(x,y,z)=0$ 表示，则点 $M_0=(x_0,y_0,z_0)$ 处的法线可以通过以下步骤求出：

1. 求出曲面在点 $M_0$ 处的切向量 $\vec{T}=(T_x,T_y,T_z)$，其中 $T_x$, $T_y$, $T_z$ 分别为 $F$ 在点 $M_0$ 处对 $x$, $y$, $z$ 的偏导数，即：

$\vec{T}=\left(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\right)$

2. 求出切平面的方程，即以点 $M_0$ 为平面上的一点，以 $\vec{T}$为法向量的平面方程：

$T_x(x-x_0)+T_y(y-y_0)+T_z(z-z_0)=0$

3. 求出切平面的法向量，即 $\vec{N}=(T_x,T_y,T_z)$，它就是曲面在点 $M_0$ 处的法线。用直线方程的形式表示如下： $\frac{x-x_0}{T_x}=\frac{y-y_0}{T_y}=\frac{z-z_0}{T_z}$