1. 概念#

第二类曲线积分也称为向量场沿曲线的积分，它是指一个向量场在一条曲线上的积分。在这里，向量场可以理解为给定空间中的每个点都有一个对应的向量。这个向量可以表示速度、加速度、电场等物理量。曲线可以是平面曲线或者三维空间中的曲线。

现在假设有一条光滑曲线 $C$ ，表示为 $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ ，其中 $t$ 是参数。如果有一个向量场 $\vec{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\vec{i} + Q(x, y, z)\vec{j} + R(x, y, z)\vec{k}$，其中 $\vec{i}$、 $\vec{j}$ 、 $\vec{k}$是三维空间中的单位向量， $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 是实数函数。则 $\vec{F}$沿曲线 $C$ 的第二类曲线积分可以表示为：

$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int_C (Pdx + Qdy + Rdz)$

其中 $d\vec{s}$表示曲线 $C$ 上的一段长度微元，它的方向是延曲线方向的切线方向， $|d\vec{s}|$ 可以表示为 $\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$ ，表示点 $(x, y, z)$ 到曲线上的下一个最近点的距离。

如果曲线 $C$ 是封闭曲线，则称第二类曲线积分为环量，表示为 $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{s}$。

2. 计算#

这里列出计算第二类曲线积分的一般步骤：

1. 确定曲线的方向，以及积分的上下限：$a, b$。

2. 选择一个合适的参数方程，将曲线表示为 $x = x(t), y = y(t), t: b \to a$ 的形式。

3. 将函数 $\vec{f}(x,y)$ 和微元 $ds$ 用参数 $t$ 表示，得到 $\vec{f}(x(t),\ y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt$ 。

4. 求出该定积分的值，即为第二类曲线积分的值。

可以看出，核心依然是把双变量函数转换为单变量函数，再求单变量的定积分。

上面列出的一般步骤利用的是参数方程，但是在实际上还有其他方法，例如极坐标系，圆柱坐标系等。这些我们留到习题章节细说。

1. 概念#

第二类曲面积分是对向量值函数在定向曲面上的积分，也称为通量积分。它需要考虑曲面的正反面，也就是曲面上的法向量的指向。法向量是垂直于曲面的向量，它有两个方向，我们需要选定其中一个方向作为曲面的正面。

第二类曲面积分可以用来计算流体、电场或磁场等物理量通过曲面的通量，也就是单位时间内通过曲面的物理量的总和。通量取决于物理量的大小和方向，以及曲面的形状和方向。

如果曲面是双侧曲面，那么无论我们从哪个方向看，都可以看到曲面的正面和反面。例如，一个球面就是双侧曲面。如果曲面不是双侧曲面，那么无论我们怎么转动，都只能看到曲面的一面。例如，一个Mobius 带（莫比乌斯环）就是非双侧曲面。

设向量值函数 $\mathbf{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$ 在光滑定向曲面 $\sum$ 上有界，$n^0(x,y,z)$ 是定向曲面 $\sum$ 在点 $(x,y,z)$ 处的单位法向量。

如果向量值函数 $\mathbf{F}$ 在定向曲面 $\sum$ 上的第二类曲面积分 $\iint_{\sum}\mathbf{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}$ 存在，则称其为向量值函数 $\mathbf{F}$ 在定向曲面 $\sum$ 上的曲面积分，也称为第二类曲面积分，通量积分或者面积分。

这个积分可以看作是在整个曲面上对向量场 $\mathbf{F}$ 进行积分，因此它的单位是长度乘以 $\mathbf{F}$ 的单位，通常用 $\mathrm{N\cdot m}$ 或 $\mathrm{Wb}$ 表示。如果引进记号 $\mathrm{d}\mathbf{S}=n^0\mathrm{d}S$，则第二类曲面积分可记为 $\iint_{\sum}\mathbf{F}(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$，其中 $\mathrm{d}\mathbf{S}$ 称为定向曲面微元。

第二类曲面积分可以用定积分来求解，它等于把所有曲面微元上的通量微元相加起来。通量微元等于物理量和单位法向量的点积乘以曲面微元。

2. 计算#

这里列出计算第二类曲面积分的一般步骤：

1. 确定曲面和曲面方向：首先要确定曲面的方程和曲面的方向。曲面方向通常是由一个向量场来指定的，这个向量场与曲面垂直，并且指向曲面的外侧。

2. 参数化曲面：将曲面用参数方程表示，即将曲面上的每个点表示为一个参数的函数形式。

3. 计算曲面微元 $\mathrm{d}\mathbf{S}$ ：计算曲面上每个点的曲面微元。曲面微元通常由曲面的点法向量和向量值函数 $\mathbf{F}$ 的点向量叉积得到。

4. 建立曲面积分的被积函数 $\mathbf{F}$ ：将被积函数表示为曲面上点的函数。

5. 写出曲面积分的积分式：将被积函数乘以曲面微元，再将其积分，可以得到曲面积分的积分式。

6. 计算积分：将积分式中的曲面微元和被积函数代入积分式，进行积分计算即可。

需要注意的是，在计算曲面积分的过程中，可能需要将曲面分成多个小面，并分别计算每个小面的曲面积分，最终将它们加起来得到总的曲面积分。

具体的算法将在习题文章中讲解。