多元微分学 [4]

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对应《大学数学 微积分 下》：“8.4 全微分及其应用”

本篇内容:

  • 全增量
  • 全微分
  • 可微，可导和可偏导的关系

全增量

全增量是指一个多元函数在一定范围内所有自变量的增量之和，它可以表示为一个微分形式的积分。

具体地说，设 z=f(x1,x2,…,xn)z=f(x_1,x_2,\dots,x_n) 是一个 nn 元函数，如果 Δx1,Δx2,…,Δxn\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n 分别表示 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\dots,x_n 的一组增量，那么 zz 的全增量可以表示为：

Δz=f(x1+Δx1, x2+Δx2, …, xn+Δxn)−f(x1,x2,…,xn)\Delta z = f(x_1+\Delta x_1,\ x_2+\Delta x_2,\ \dots,\ x_n+\Delta x_n) - f(x_1,x_2,\dots,x_n)

全增量可以看作是函数在一定范围内所有自变量增量之和，它可以用微分形式来表示为：

Δz=Δf=∂f∂x1Δx1+∂f∂x2Δx2+⋯+∂f∂xnΔxn\Delta z = \Delta f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \Delta x_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \Delta x_n

这里的 dfdf 表示函数 ff 的微分形式，也称全微分。全增量的计算可以看作是对微分形式的积分，即：

Δz=∫PQdf\Delta z = \int_{P}^{Q} df

其中 PP 和 QQ 是自变量从 (x1,x2,…,xn)(x_1,x_2,\dots,x_n) 变化到 (x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δxn)(x_1+\Delta x_1, x_2+\Delta x_2, \dots, x_n+\Delta x_n) 的过程中经过的路径，称为积分路径。

全微分

1. 定义

其实全微分就是给多元函数的微分的特殊称谓[1]。

全微分是指一个函数的函数值在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数来计算出来的微分形式。

具体地说，设一个二元函数 f(x, y)f(x,\ y)，那么它的全微分可以被表示为：

df=∂f∂xdx+∂f∂ydydf = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

其中 dxdx 和 dydy 分别表示 xx 和 yy 的微小变化量。

这个式子可以理解为，全微分是由函数在 xx 方向和 yy 方向上的微小变化量加权得到的。

稍加观察我们能发现函数 ff 在点 (x0, y0)(x_0,\ y_0) 的全微分就是 Δf\Delta f 对于 Δx\Delta x 和 Δy\Delta y 的线性近似[2]

需要注意的是，只有所有偏导数都连续的函数（函数在该区间内连续可微）才能有全微分，否则全微分不存在。这其实就是多元函数可微，可导和可偏导的关系，我们在接下来更有条理的叙述这点。

2. 可微，可导和可偏导的关系

针对点

  • 可微 ⟷\longleftrightarrow 可导

因为导数就是增量除以微分；增量必定能存在，所以只要微分存在，导数就存在

  • 可偏导 ⟷\longleftrightarrow 可微

对于每个变量都是可偏导的，那么根据全微分的定义，此时全微分存在

  • 总结：可偏导 ⟷\longleftrightarrow 可微 ⟷\longleftrightarrow 可导

针对域

  • 均可微 ⟶\longrightarrow 函数连续

只有连续的函数才能做到均可微

  • 导数连续 ⟷\longleftrightarrow 均可微

均连续就意味着在这个域中每个点都是可导的，那么每个点都是可微分的

  • 偏导数均连续 ⟷\longleftrightarrow 均可微

均连续就意味着在这个域中每个点都是可偏导的，那么每个点都是可微分的

  • 总结： 偏导数均连续 ⟷\longleftrightarrow 导数连续 ⟷\longleftrightarrow 均可微 ⟶\longrightarrow 函数连续

3. 全微分的几何意义

正如前文所说，全微分是全增量关于两个自变量的线性近似，所以我们可以得到全微分的近似计算公式。

假设有一个二元函数 f(x, y)f(x,\ y)，并且 f(x, y)f(x,\ y) 在某一点 (x0, y0)(x_0,\ y_0) 处连续可微，那么它在该点的全微分可以近似表示为：

df=∂f∂x(x0, y0)Δx+∂f∂y(x0, y0)Δydf = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,\ y_0) \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,\ y_0) \Delta y

需要注意的是，这个公式只是一个近似值，并且只在 (x0, y0)(x_0,\ y_0) 点附近有效。当增量 Δx\Delta x 和 Δy\Delta y 很小的时候，这个公式的误差可以忽略不计；因此要比较准确地计算全微分，需要令 Δx\Delta x 和 Δy\Delta y 趋近于零。

根据这个公式，我们可以窥见全微分的几何意义：全微分的几何意义是微小的平面区域，即微元。

我们来推演一下其由来：

对于二元函数 f(x, y)f(x,\ y)，全微分 dfdf 的向量(dx, dy)(dx,\ dy)在点 (x, y)(x,\ y) 附近可以看做是一个平面的法向量，该平面是通过点 (x, y,f(x,y))(x,\ y,f(x,y)) 的函数曲面的切平面。这个切平面描述了函数在该点的局部变化率。

对于微小增量 (dx, dy)(dx,\ dy)，dfdf 等于切平面的法向量与增量的点积，即：

df=∇f⋅dr=∂f∂xdx+∂f∂ydydf = \nabla f \cdot d\mathbf{r} = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy

其中，∇f\nabla f 是函数 ff 的梯度，即 (∂f∂x, ∂f∂y)(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y})，drd\mathbf{r} 是微小增量 (dx, dy)(dx,\ dy) 的向量形式。这个式子可以解释为：当 (dx, dy)(dx,\ dy) 增加时，函数值的变化率等于切平面法向量与增量向量的点积。

从几何上来看，全微分可以看做是函数 f(x, y)f(x,\ y) 在 (x, y)(x,\ y) 点附近的一个微小平面区域的切平面的法向量乘以微小增量的内积。也就是说，全微分 df(x, y)df(x,\ y) 表示的是函数 f(x, y)f(x,\ y) 在点 (x, y)(x,\ y) 处沿着微小平面区域的方向的微小变化率。

  1. 1.对于一元函数的微分我们直接称为微分 ↩
  2. 2.线性近似是指通过对一个函数在某一点处进行一阶泰勒展开，得到该点附近的线性函数，以此来近似原函数在该点附近的行为。 ↩