对应《大学数学微积分下》：“8.5 多元复合函数的微分法”

本篇内容:

多元复合函数的链式法则
链式结构
一阶全微分的不变性及其推导
隐函数的偏导数
隐函数存在定理

复合函数的偏导数

1. 链式法则

链式法则是用来求复合函数的导数的一个基本法则。它告诉我们，如果一个函数是由另外两个函数复合而成，那么它的导数可以通过这两个函数的导数来计算。

对于一元函数

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都可导，且 $y=f(g(x))$ ，则 $y$ 对 $x$ 的导数为：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g} \cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

对于多元函数

基本思想是，如果一个多元函数是由其他多元函数复合而成的，那么它的导数可以通过复合函数的各个部分的偏导数相乘并相加得到。

假设 $z = f(x, y)$ ，其中 $x = g(u, v)$ ， $y = h(u, v)$ ，那么有：

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}$

其中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 是 $f$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数， $\frac{\partial x}{\partial u}$ 、 $\frac{\partial x}{\partial v}$ 、 $\frac{\partial y}{\partial u}$ 、 $\frac{\partial y}{\partial v}$ 是 $x$ 和 $y$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数。

这个公式可以循环套用，如果中间变量还是一个函数，则继续使用链式法则即可。

2. 全导数

全导数是一种用来求多元复合函数的导数的方法，它是一元函数的导数的推广。

设一个多元函数 $z = f(x, y)$ ，其中 $x$ 和 $y$ 又是另外两个一元函数的复合，即 $x = g(t)$ 和 $y = h(t)$ ，那么套用链式法则 $z$ 对 $t$ 的全导数可以用下面的公式计算：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dg}{dt} + \cdot\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dh}{dt}$

3. 链式结构

函数复合的链式结构指的是一个函数可以由多个函数按照一定的顺序复合而成的形式。

对于一元函数

如果有多个函数 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)$ ，那么它们可以按照一定的顺序进行复合，得到一个新的函数：

$f(x) = f_n(f_{n-1}(\cdots f_2(f_1(x)) \cdots))$

这个函数 $f(x)$ 就是一个由多个函数按照顺序复合而成的复合函数。

它的链式结构体现在每个函数的输入都是上一个函数的输出，因此它们形成了一个由多个环节组成的链式结构。在求这个函数的导数时，可以使用链式法则来计算。链式法则告诉我们，如果 $y$ 是由多个函数复合而成的函数，那么 $y$ 对 $x$ 的导数可以表示为每个函数对其输入的导数的乘积，即：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}f_n}{\mathrm{d}f_{n-1}} \cdot \frac{\mathrm{d}f_{n-1}}{\mathrm{d}f_{n-2}} \cdots \frac{\mathrm{d}f_2}{\mathrm{d}f_1} \cdot \frac{\mathrm{d}f_1}{\mathrm{d}x}$

这个公式可以通过反复应用链式法则来推导得出。

对于多元函数

多元复合函数的链式结构，是在一元函数链式结构的基础上的一张链式结构网，具体样例可见《大学数学：微积分下》的76~77页。

一阶全微分的不变性

1. 概念

在多元函数中，如果存在两个自变量 $x$ 和 $y$ ，使得它们之间存在一条关系式 $\varphi(x,y)=0$ ，那么在这个关系式成立的条件下，函数 $z=f(x,y)$ 的一阶全微分 $\mathrm{d}z$ 在不改变自变量 $x$ 和 $y$ 的取值的情况下，仍然保持不变。

其数学形式如下：

$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = \frac{\partial f}{\partial u}du + \frac{\partial f}{\partial v}dv$

2. 推导过程

设 $f(x,y)$ 是二元函数， $dx$ 和 $dy$ 分别是自变量 $x$ 和 $y$ 的微小变化， $df$ 是函数 $f(x,y)$ 的全微分，则有：

$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

现在考虑另一个二元函数 $f(u,v)$ ，其中 $u$ 和 $v$ 与 $x$ 和 $y$ 之间存在一定的关系，即 $u = u(x,y)$ ， $v = v(x,y)$ 。则有：

$df = \frac{\partial f}{\partial u}du + \frac{\partial f}{\partial v}dv$

我们接下来用链式法则对其进行一系列推导：

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial u}du + \frac{\partial f}{\partial v}dv \ & = \frac{\partial f}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\right) + \frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy\right) \\& = \left(\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx + \left(\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right)dy \\& = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \end{aligned}$

通过这个推导得到的最终结果，我们便能发现一阶全微分的不变性：

$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = \frac{\partial f}{\partial u}du + \frac{\partial f}{\partial v}dv$

隐函数的偏导数

1. 隐函数

隐函数的概念是指将自变量和因变量放在同一个式子中，隐藏了二者之间的函数关系的函数

具体来说，假设有一个方程或者函数 $F(x, y)=0$ ，如果存在一个区间 $I$ 内的 $x_0$ ，使得方程 $F(x_0,y)=0$ 有一个解 $y_0$ ，那么可以将 $y$ 表示为 $x$ 的函数形式： $y=f(x)$ ，其中 $f(x_0)=y_0$ ，这个函数就是隐函数。

举一个最简单的例子: $x-y=0$ 就是一个隐函数，它对应的显函数是 $y = x$

2. 隐函数存在定理

隐函数存在定理是一个描述关系以隐函数表示的某些变量之间是否存在显式关系的定理，也就是判断一个隐函数有没有其对应的显函数。

简单来说，就是如果一个方程 $F(x, y)=0$ 在某一点附近的微分满足某些条件，那么在这点附近，y可以表示成关于x的函数

双变量

具体来说，对于一个实数域上的 $C^1$ ^[1]函数 $F(x,y)$ ，如果它在某个点 $(x_0,y_0)$ 处满足以下条件：

$F(x_0,y_0)=0$

$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0) \neq 0$

那么就存在一个以 $(x_0,y_0)$ 为中心的邻域 $U$ 和一个 $C^1$ 函数 $f(x)$ ，使得 $x\in U$ 时， $F(x,f(x))=0$ ，且在 $U$ 内 $y=f(x)$ 是唯一确定的。

这个定理可以利用隐函数的导数公式进行推导。

以上是对于两个变量的函数，自然，我们是能对这个定理进行对多个变量的延伸：

三变量

具体来说，对于一个实数域上的 $C^1$ ^[1]函数 $F(x,y)$ ，如果它在某个点 $(x_0,y_0)$ 处满足以下条件：

$F(x,y,z)=0$

$\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\neq 0$

那么就存在一个以 $(x_0,y_0)$ 为中心的邻域 $U$ 和一个 $C^1$ 函数 $z=z(x,y)$ ，使得 $(x,y)\in U$ 时， $F(x,y,z)=0$ ，且在 $U$ 内 $z=z(x,y)$ 是唯一确定的。

也就是说，在某些条件下，可以将三元方程 $F(x,y,z)=0$ 看作是以 $(x,y)$ 为自变量， $z$ 为因变量的函数 $z=z(x,y)$ 的形式，并且该函数在一定的邻域内具有连续的偏导数。这个定理的证明和二元版本的证明相似，也是利用隐函数的导数公式进行推导。

3. 对隐函数的求导

对隐函数的求导过程中我们主要运用链式法则。

我们首先关注双变量的隐函数

双变量

假设 $F(x,y)=0$ 可以表示出 $y$ 为 $x$ 的函数 $y=f(x)$ ，则有：

$\frac{d}{dx}F(x,f(x))=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$

解出 $\frac{dy}{dx}$ 可得：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\frac{F_x}{F_y}$

这个公式告诉我们，如果可以将 $F(x,y)=0$ 看作是以 $y$ 为 $x$ 的函数的形式，那么我们可以通过对 $F(x,y)$ 的偏导数来求出这个函数的导数。

需要注意的是，这个方法只适用于满足隐函数存在定理条件的隐函数，所以并不是所有的隐函数都可以用这个公式求导。在实际应用中，需要根据具体的问题来判断是否可以使用这个公式进行求导。

对于三变量，过程极其相似，不过是多套用了一层链式法则