多元微分学 [6]

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对应《大学数学 微积分 下》：“8.6 方向导数和梯度”

本篇内容

  • 方向余弦
  • 方向导数
  • 梯度
  • 数量场
  • 向量场
  • 梯度场

方向导数

1. 使用向量定义

方向导数是描述一个函数沿着某个给定方向的变化速率的概念。

具体来说，假设 z=f(x,y)z=f(x,y) 是定义在平面上的一个函数，P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 是平面上的一个点，v⃗=(a,b)\vec{v}=(a,b) 是一个非零向量。那么，函数 f(x,y)f(x,y) 在点 P0P_0 沿着方向 v⃗\vec{v} 的方向导数 Dv⃗f(x0,y0)D_{\vec{v}}f(x_0,y_0) 定义为：

Dv⃗f(x0,y0)=lim⁡h→0f(x0+ha,y0+hb)−f(x0,y0)hD_{\vec{v}}f(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+ha,y_0+hb)-f(x_0,y_0)}{h}

其中，hh 是一个实数，表示沿着方向 v⃗\vec{v} 前进的距离。方向导数也可以表示为函数 f(x,y)f(x,y) 在点 P0P_0 处沿着单位向量 u⃗\vec{u} 的导数，其中 u⃗\vec{u} 与 v⃗\vec{v} 方向相同。

以上是通过一个方向向量来定义，我们还能引入 方向余弦 来更加清晰地描述

2. 使用方向余弦定义

首先我们要先明白什么是方向余弦

方向余弦:

方向余弦是描述一个向量在各个坐标轴上的投影分量与向量长度之比的概念。具体来说，假设有一个 nn 维向量 v⃗=(v1,v2,…,vn)\vec{v}=(v_1,v_2,\ldots,v_n)，则向量 v⃗\vec{v} 在第 ii 个坐标轴上的投影分量可以表示为 vicos⁡θiv_i\cos\theta_i，其中 θi\theta_i 是向量 v⃗\vec{v} 与第 ii 个坐标轴之间的夹角。

因此，向量 v⃗\vec{v} 在第 ii 个坐标轴上的方向余弦 cos⁡θi\cos\theta_i 定义为：

cos⁡θi=vi∣v⃗∣=viv12+v22+⋯+vn2\cos\theta_i=\frac{v_i}{|\vec{v}|}=\frac{v_i}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}}

其中 ∣v⃗∣|\vec{v}| 表示向量 v⃗\vec{v} 的长度，也可以表示为 ∣v⃗∣=v12+v22+⋯+vn2|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}。

接下来，我们便可以借用方向余弦来定义方向函数

具体来说，假设 z=f(x,y)z=f(x,y) 是定义在平面上的一个函数，P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 是平面上的一个点，v⃗=(a,b)\vec{v}=(a,b) 是一个非零向量。那么，函数 f(x,y)f(x,y) 在点 P0P_0 沿着方向 v⃗\vec{v} 的方向导数 Dv⃗f(x0,y0)D_{\vec{v}}f(x_0,y_0) 可以表示为：

Dv⃗f(x0,y0)=∂f∂x(x0,y0)cos⁡α+∂f∂y(x0,y0)cos⁡βD_{\vec{v}}f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cos\beta

其中，α\alpha 和 β\beta 是向量 v⃗\vec{v} 的方向余弦。

梯度

1. 概念

梯度的本意是一个向量，表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

具体来说，如果 f(x,y,z)f(x,y,z) 是一个可微函数，那么它在点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 处的梯度为：

∇f(x0,y0,z0)=(∂f∂x(x0,y0,z0),∂f∂y(x0,y0,z0),∂f∂z(x0,y0,z0))\nabla f(x_0,y_0,z_0) = (\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0))

其中，∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}，∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y} 和 ∂f∂z\frac{\partial f}{\partial z} 分别表示函数 ff 在 xx，yy 和 zz 方向上的偏导数。

这里的 ∇=(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z)\nabla =(\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}) 是一个 算子 。

算子是一种映射，可以将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间（也有可能是相同的向量空间）中的另一个元素。简单来说，算子是一个函数空间到函数空间上的映射。

我们还可以从物理的角度来考察梯度的概念
首先我们先理解什么是物理中的场：

物理学中的 数量场 和 向量场 总称为 场

数量场

在物理学中，数量场是指某个物理量在空间中的取值随着位置的变化而变化的函数，这个物理量可以是标量或矢量。

以标量场为例，假设在空间中每个点上都有一个标量值，例如温度、密度、压力、能量密度等。这些物理量可以用数量场来描述，即在空间中定义一个实数函数 f(x,y,z)f(x,y,z)，表示在点 (x,y,z)(x,y,z) 处的物理量的大小。例如，温度场可以表示为 T(x,y,z)T(x,y,z)，能量密度场可以表示为 ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)。数量场的物理含义是，在空间中的每个点上都有一个实数值，这个值表示了某种物理量的大小或强度。

向量场

在物理学中，向量场是指在空间中每个点上都有一个向量与之对应的函数。这个向量可以表示空间中的某个物理量的大小和方向，例如速度、力、磁场等。

以速度场为例，假设在空间中每个点上都有一个速度向量，表示流体或气体在该点的速度大小和方向。这些速度向量可以用向量场来描述，即在空间中定义一个向量函数 v⃗(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)，表示在点 (x,y,z)(x,y,z) 处的速度向量。向量场的物理含义是，在空间中的每个点上都有一个向量，这个向量表示了某种物理量的大小和方向。

有些场不仅和空间有关，还和时间有关，也就是场对应的函数还需要添加一个有关时间的自变量 tt。
我们称和时间无关的场为 稳定场。

对于一个数量场 f(x,y,z)f(x,y,z)，它的对应 梯度场 ∇f\nabla f 可以表示为一个向量场，它在每个点 (x,y,z)(x,y,z) 处的值为：

∇f=(fx, fy, fz)\nabla f = (f_x,\ f_y,\ f_z)

2. 意义

梯度的方向就是变化率最大的方向，而梯度的大小则表示函数在该方向上的变化率。

3. 运算性质

  1. 线性性质

    设 ff 和 gg 是两个数量场，α\alpha 和 β\beta 是两个常数，则有

    ∇(αf+βg)=α∇f+β∇g\nabla(\alpha f + \beta g) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g

    这个性质可以类比导数的线性性质。

  2. 乘积法则

    设 ff 和 gg 是两个数量场，则有

    ∇(fg)=f∇g+g∇f\nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f

    这个性质可以类比求导数的乘积法则。

  3. 偏导数交换律

    设 ff 是一个数量场，xx 和 yy 是两个自变量，则有

    ∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

    即

    fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}

    这个性质表明，对于光滑的数量场 ff，偏导数的次序可以交换。