数论与加密学 [8]

本篇内容

• 群 [Group]
• 交换群[Abelian group]
• 子群[Subgroup]
• 循环群[Cyclic group]

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群

1. 概念

群（group）是一个集合 $G$ 加上一个运算" $\cdot$ ", 它结合任何两个元素 $a$ 和 $b$ 而形成另一个元素，记为 $a \cdot b$ 。要成为群，这个集合和运算必须满足叫做 群公理（group axioms） 的四个要求：

1. 封闭性（Closure）：对于所有 $G$ 中 $a, b$ ，运算 $a \cdot b$ 的结果也在 $G$ 中。

2. 结合性（Associativity）：对于所有 $G$ 中的 $a, b$ 和 $c$ ，等式 $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ 成立。

3. 单位元（Identity element）：$G$ 中存在一个元素$e$，对于所有 $G$ 中的元素 $a$ ，等式 $e \cdot a$ = $a \cdot e$ = $a$ 成立。

4. 逆元（Inverse element）：对于每个 $G$ 中的 $a$，存在 $G$ 中的一个元素 $b$ 使得 $a \cdot b=b \cdot a=e$。

注意：

1. 运算" $\cdot$ "不一定满足交换律，即 $a \cdot b \neq b \cdot a$。

2. 单位元和逆元是唯一的。

2. 阶

群的阶（order）是指群中元素的数量。如果群 $G$ 有 $n$ 个元素，则称 $G$ 的阶为 $n$，记为 $|G| = n$。阶可以是有限的或无限的，具体取决于群的元素数量。

例如，整数加法构成一个无限阶的群，因为整数是无限的，而每个整数都可以作为群的元素。另一方面，矩阵乘法构成一个有限阶的群，因为矩阵的数量是有限的。

一些特殊的群

1. 交换群

一个群 $G$ 被称为交换群（Abelian group），又称为阿贝尔群，如果对于 $G$ 中任意的元素 $a$ 和 $b$，有 $a \cdot b=b \cdot a$，即群的运算满足交换律。换句话说，$G$ 中任意两个元素的乘积的顺序不影响结果。通俗地讲，阿贝尔群就是可以“交换位置”的群。

例如，整数加法和实数乘法都是阿贝尔群。但是，整数乘法和置换群都不是阿贝尔群，因为它们的乘法不满足交换律。

2. 子群

简单来说，子群就是一个群的某个子集满足群的四个属性。

一个群 $G$ 的子群（subgroup）是一个满足以下三个条件的 $G$ 的子集 $H$：

1. 封闭性
2. 单位元
3. 结合性
4. 逆元

直观上来说，一个群 $G$ 的子群 $H$ 是一个在 $G$ 中“封闭”的子集，其中的元素遵循相同的运算规则，同时还包含 $G$ 的单位元素和逆元素。换句话说，$H$ 是一个“小群”，它继承了 $G$ 的运算规则和一些特征。

例如，整数加法构成一个群，而所有偶数的集合 ${0, 2, -2, 4, -4, ...}$ 是这个群的子群，因为它满足封闭性、单位元素和逆元素的条件。类似地，正方形的旋转群是一个群，而它的旋转角度是 $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ 和 $270^\circ$ 的子集构成的集合是一个子群。

3. 循环群

一个群 $G$ 被称为循环群（cyclic group），如果它可以由一个元素 $g$ 生成，即对于 $G$ 中的任意元素 $x$，都可以表示成 $x=g^n$ 的形式，其中 $n$ 是整数。在这种情况下，我们称 $g$ 为 $G$ 的生成元（generator）。

如果一个群 $G$ 是有限群，那么它是循环群的充要条件是 $G$ 中存在一个元素 $g$，使得 $g$ 的阶等于 $G$ 的元素个数，即 $|G|=n$，且 $g^n=e$，其中 $e$ 是 $G$ 的单位元素。

如果 $G$ 是无限群，那么它是循环群的充要条件是 $G$ 中存在一个元素 $g$，使得对于任意整数 $n$，$g^n$ 都在 $G$ 中出现，并且 $g^n \neq e$ 对于所有非零整数 $n$ 成立，其中 $e$ 是 $G$ 的单位元素。

一个循环群的性质比较简单，它的每个元素都可以用生成元表示，而且对于有限循环群，它的元素个数等于生成元的阶。