多元微分学 [3]

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对应《大学数学 微积分 下》：“8.3 偏导数”

本篇内容:

  • 偏导数的概念
  • 偏导数的计算
  • 高阶偏导数

偏导数

1. 概念

对于多元函数 f(x1,x2,…,xn)f(x_1,x_2,\dots,x_n)，偏导数是指在其他变量不变[1]的情况下，只对其中一个变量求导数的过程，可以用下面的符号来表示：

∂f∂xi=lim⁡h→0f(x1,x2,…,xi+h,…,xn)−f(x1,x2,…,xi,…,xn)h\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1,x_2,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,x_2,\dots,x_i,\dots,x_n)}{h}

其中，xix_i 表示要对其求偏导数的自变量，其他自变量 xj,j≠ix_j, j\neq i）保持不变，hh 是自变量 xix_i 的增量。

偏导数表示函数在某个方向上的变化率，也就是函数在某个自变量上的变化情况。

2. 计算

只要懂一元函数怎么求导，那么在求一个多元函数的某个偏导数时就应该没有问题。我们举个简单的例子。

设二元函数f(x, y)=x2+yf(x,\ y) = x^2 + y。对于 f(x,y)f(x,y)，我们可以分别对 xx 和 yy 求偏导数，记为 ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} 和 ∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y}，分别表示函数 f(x,y)f(x,y) 对 xx 和 yy 的变化率。

对 xx 求偏导数，可以将 yy 视为常数，得到：

∂f∂x=2x\qquad \qquad \frac{\partial f}{\partial x}=2x

这表示当 xx 增加一个小量时，f(x,y)f(x,y) 的增加量约为 2x2x 倍的这个小量。

对 yy 求偏导数，可以将 xx 视为常数，得到：

∂f∂y=1\qquad \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=1

这表示当 yy 增加一个小量时，f(x,y)f(x,y) 的增加量为 11 倍的这个小量。

因此，f(x,y)=x2+yf(x,y) = x^2 + y 的两个偏导数分别为 ∂f∂x=2x\frac{\partial f}{\partial x} = 2x 和 ∂f∂y=1\frac{\partial f}{\partial y} = 1。
也可以简写作 fx=2xf_x=2x 和 fy=1f_y = 1

高阶偏导数

1. 概念

在多元函数的情况下，除了一阶偏导数（即对单个变量求偏导数），还可以定义更高阶的偏导数，这些偏导数分别对应着函数在各个方向上的变化率。

二阶偏导数是指对某个自变量求两次偏导数，一般用下面的符号表示：

∂2f∂xi2=∂∂xi(∂f∂xi)\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)

也可以对不同的自变量求偏导数的混合二阶偏导数：

∂2f∂xi∂xj=∂∂xi(∂f∂xj)\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)

类似地，我们还可以定义更高阶的偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。

2. 计算

我们依然以求一个二阶偏导数为例子，一般方法是先对某个自变量求一次偏导数，然后再对所得到的偏导数对相应的自变量求一次偏导数。以下是求二阶偏导数的具体步骤：

  1. 先对函数 f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) 中的某一个自变量，比如 xix_i，求一次偏导数，得到：

∂f∂xi(x1,x2,…,xn)\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1, x_2, \dots, x_n)

  1. 然后对上述偏导数再求一次偏导数，即对 xix_i 求偏导数，得到：

∂2f∂xi2(x1,x2,…,xn)\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(x_1, x_2, \dots, x_n)

  1. 如果需要求混合二阶偏导数，比如对 xix_i 和 xjx_j 求偏导数，可以先对 xix_i 求偏导数，再对所得到的偏导数对 xjx_j 求偏导数，得到：

∂2f∂xi∂xj(x1,x2,…,xn)\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_1, x_2, \dots, x_n)

  1. 1.把其他变量当作常数 ↩