多元微分学 [7]

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对应《大学数学 微积分 下》：“8.7 多元微分学在几何中的应用”

本篇内容

  • 空间曲线的切线和法平面
  • 空间曲面的切平面和法线

空间曲线的切线和法平面

1. 空间曲线的切线

在高等数学中，空间曲线的切线可以定义为曲线上一点处的 切向量 。切向量是与曲线在该点相切的向量，它的方向是曲线在该点的切线方向，而它的大小则取决于曲线在该点的曲率。

更具体地说，假设有一条参数方程为 r(t)=(x(t), y(t), z(t))\mathbf{r}(t)=(x(t),\ y(t),\ z(t)) 的空间曲线，其中 tt 是曲线的参数。如果在该曲线上选择一个点 r(t0)\mathbf{r}(t_0) ，则曲线在该点的切向量为：

r′(t0)=dr(t)dt∣t=t0=dxdt∣t=t0⋅i+dydt∣t=t0⋅j+dzdt∣t=t0⋅k\mathbf{r}'(t_0) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}\bigg|_{t=t_0}=\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=t_0} \cdot \mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=t_0} \cdot \mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\bigg|_{t=t_0} \cdot \mathbf{k}

其中， i\mathbf{i} 、 j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k} 分别是 xx 、 yy 和 zz 轴上的单位向量。
或者在一般我们可以直接简写为：

r′(t0)=(x′(t0), y′(t0), z(t0))\mathbf{r}'(t_0)=(x'(t_0),\ y'(t_0),\ z(t_0))

因此，曲线在点 r(t0)\mathbf{r}(t_0) 处的切线方向就是 r′(t0)\mathbf{r}'(t_0) ，而曲线在该点的切线则是由 r(t0)\mathbf{r}(t_0) 和 r′(t0)\mathbf{r}'(t_0) 确定的直线：

LT=r(t0)+t1r′(t0)L_T = r(t_0) + t_1r'(t_0)

2. 光滑曲线

光滑曲线 是指在参数区间内处处存在切向量的连续可微曲线，其中 切向量的连续性 是指在曲线上连续点之间的切向量之间不存在间断。也就是说，对于光滑曲线上的任何一点，都存在一个切向量，且在该点附近曲线的方向不会出现突变。

切向量在描述光滑曲线方向时起着重要的作用。由于切向量是与曲线相切的向量，它描述了曲线在该点的切线方向。对于光滑曲线而言，由于切向量连续且不存在间断，因此曲线在任意相邻点之间的切线方向都是相似的，这使得曲线在整个区间内的方向变化是连续的。

另外，切线在描述光滑曲线性质时也非常重要。曲线在某点的切线可以用该点处的切向量来表示，而切线的斜率则可以用切向量的导数来表示。这些导数也被称为 曲率 ，它们描述了曲线的弯曲程度。对于光滑曲线而言，切向量的连续性保证了曲率的连续性，因此曲线的弯曲程度在整个区间内是连续变化的。

3. 曲率

对于曲线 r(t)\mathbf{r}(t) ，其切向量为 r′(t)\mathbf{r}'(t) ，则曲率向量为

r′′(t)=ddt(dr(t)dt)=dr′(t)dt\mathbf{r}''(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}\right)=\frac{d\mathbf{r}'(t)}{dt}

其中， r′′(t)\mathbf{r}''(t) 表示曲线在参数为tt的点处的曲率向量。

曲率向量的大小称为曲率，记作k(t)k(t)，表示曲线在该点处的弯曲程度。曲率的计算公式为：

k(t)=∣r′(t)×r′′(t)∣∣r′(t)∣3k(t) = \frac{\left|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\right|}{\left|\mathbf{r}'(t)\right|^3}

其中， ×\times 表示向量的叉积。

4. 空间曲线的法平面

空间曲线的法平面就是垂直于某点处切向量的平面，它由曲线在该点处的切向量所确定。

具体地说，设空间曲线为 r(t)\mathbf{r}(t) ，设 r′(t0)\mathbf{r}'(t_0) 是曲线在参数为 t0t_0 的点 M0M_0 处的切向量。
则曲线在点 M0M_0 处的法平面方程

x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0

曲面的切平面和法线

1. 曲面的切平面

曲面的切平面 是在曲面上某一点处与曲面切线相切的平面。

我们接下来通过求解曲面的切平面来侧面体现切平面的定义：

通常我们将曲面方程表示为 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 的形式。在求解切平面时，我们需要先选择曲面上的某个点 PP，然后求出该点处的法向量 N\mathbf{N} 和切向量 T\mathbf{T}。

法向量 N\mathbf{N} 表示曲面在该点处的垂直方向，其可以通过对曲面方程求梯度得到。具体来说，我们可以计算曲面方程在点 PP 处各个方向上的偏导数，然后将它们放在一起组成一个向量，即可得到该点处的法向量 N\mathbf{N}。即：

N=∇F(P)=(∂F∂x(P),∂F∂y(P),∂F∂z(P))\mathbf{N} = \nabla F(P) = \left(\frac{\partial F}{\partial x}(P), \frac{\partial F}{\partial y}(P), \frac{\partial F}{\partial z}(P)\right)

切向量 T\mathbf{T} 表示曲面在该点处的切线方向，即：

T=(∂F∂x(P),∂F∂y(P),∂F∂z(P))\mathbf{T} = \left(\frac{\partial F}{\partial x}(P), \frac{\partial F}{\partial y}(P), \frac{\partial F}{\partial z}(P)\right)

最后，我们可以通过法向量 N\mathbf{N} 和切向量 T\mathbf{T} 确定切平面的方程。由于法向量 N\mathbf{N} 与切平面的法向量垂直，因此切平面的方程可以表示为：

N⋅(r−P)=0\mathbf{N} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{P}) = 0

其中 r\mathbf{r} 表示切平面上任意一点的位置，' ⋅\cdot '表示向量的点乘运算。将切向量 T\mathbf{T} 代入上式中，可得到切平面的方程：

∂F∂x(P)(x−x0)+∂F∂y(P)(y−y0)+∂F∂z(P)(z−z0)=0\frac{\partial F}{\partial x}(P)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(P)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(P)(z - z_0) = 0

其中 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) 表示曲面上的该点的坐标。

2. 曲面的法线

曲面的法线是与曲面上一点的切平面垂直的直线或向量。换句话说，曲面上的任何点都有唯一的一条法线，它垂直于该点处的切平面。

具体地，如果曲面 SS 可以用方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 表示，则点 M0=(x0,y0,z0)M_0=(x_0,y_0,z_0) 处的法线可以通过以下步骤求出：

  1. 求出曲面在点 M0M_0 处的切向量 T⃗=(Tx,Ty,Tz)\vec{T}=(T_x,T_y,T_z)，其中 TxT_x, TyT_y, TzT_z 分别为 FF 在点 M0M_0 处对 xx, yy, zz 的偏导数，即：

T⃗=(∂F∂x(x0,y0,z0),∂F∂y(x0,y0,z0),∂F∂z(x0,y0,z0))\vec{T}=\left(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\right)

  1. 求出切平面的方程，即以点 M0M_0 为平面上的一点，以 T⃗\vec{T} 为法向量的平面方程：

Tx(x−x0)+Ty(y−y0)+Tz(z−z0)=0T_x(x-x_0)+T_y(y-y_0)+T_z(z-z_0)=0

  1. 求出切平面的法向量，即 N⃗=(Tx,Ty,Tz)\vec{N}=(T_x,T_y,T_z)，它就是曲面在点 M0M_0 处的法线。用直线方程的形式表示如下：

x−x0Tx=y−y0Ty=z−z0Tz\frac{x-x_0}{T_x}=\frac{y-y_0}{T_y}=\frac{z-z_0}{T_z}