多元积分学 [1]

*对应《大学数学 微积分 下》：“9.1 重积分的概念和性质”

本篇内容

• 多元积分学简介
• 二重积分的定义
• 三重积分的定义
• 多重积分的性质

简介

多元积分学是微积分的一个分支，研究的对象是多元函数的积分。与单元积分学（即一元函数积分）不同，多元积分学中的被积函数可以是多个变量的函数，而不仅仅是一个变量的函数。

多元积分学可以分为两种主要类型：重积分和曲线积分。重积分又可以分为二重积分和三重积分。

• 二重积分是对一个平面区域内的被积函数进行积分。通常使用极坐标系或直角坐标系来描述区域，并使用二重积分公式来计算积分值。

• 三重积分是对一个空间区域内的被积函数进行积分。类似于二重积分，通常使用柱面坐标系、球面坐标系或直角坐标系来描述区域，并使用三重积分公式来计算积分值。

• 曲线积分则是对一个曲线上的被积函数进行积分。曲线可以是平面内的曲线，也可以是空间内的曲线。根据被积函数和积分路径的不同，曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

• 多元积分学在物理、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用，例如计算物体的质心、电场、热力学等问题。

---

二重积分

二重积分是在二维平面上，对一个有界闭区域$D$上的有界函数$f(x,y)$进行积分运算的概念。其中$D$是积分区域，$f$是被积函数。在数学中，使用二重积分来计算平面区域内某些量的总和，例如平面薄板的质量和曲顶柱体的体积等。

具体地，对于二重积分的定义，我们需要用到区域$D$的任意曲线网来将其分成若干小区域$\triangle\sigma_{i}$，对于每个小区域，取其面积乘上在该小区域内任意一点$(\xi, \eta)$处的函数值$f(\xi,\eta)$，并将所有小区域的这个乘积加起来，得到一个和式。当这个和式随着小区域的面积趋近于$0$时，如果其极限存在：

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0} \sum _ {i=1}^ {n} f( \xi _ {i} , \eta _ {i} ) \triangle \sigma _ {i} =I$$

则这个极限值$I$就是函数$f(x,y)$在$D$上的二重积分，记作$\iint_D f(x,y)d\sigma$。其中，$\sigma$表示面积微元，也就是小区域的面积。

需要注意的是，二重积分的存在性和数值与$D$的分划方式及点$(\xi,\eta) \in \triangle D_i$的取法无关，只与被积函数及积分区域有关。因此，使用不同的分割方式和选取不同的点来计算二重积分的结果应该是相同的。

在物理和几何学中，二重积分也具有重要的应用，例如可以用二重积分来计算平面薄板的质量和曲顶柱体的体积。当被积函数取值可能为负时，二重积分可以看作相应的曲顶或曲底柱体体积的代数和，此时在$xoy$平面下方的柱体体积的代数值规定为负。

---

三重积分

三重积分是多元函数在三维空间中的积分。三重积分的基本概念是将积分区域划分为多个小体积，并对每个小体积内的函数值进行加权求和，然后将这些求和值相加得到最终的积分结果。

具体来说，设 $V$ 是 $R^ {3}$ 中的有界闭区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $V$ 上有界，对 $V$ 进行任意的分划为 $\triangle V_ {1},\triangle V_ {2},\cdots,\triangle V_ {n}$ ，对于每个小体积 $\triangle V_ {i}$ ，选取其中一个点 $(\xi_i, \eta _ {i}, \zeta _ {i})$，然后将函数值 $f(\xi_1,\eta _ {1},\zeta_1)$ 与小体积 $\triangle V_ {1}$ 相乘得到一个小的积分贡献，最后将所有小积分贡献加起来：

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0} \sum _ {i=1}^ {n} f( \xi _ {i} , \eta _ {i}, \zeta_{i} )\triangle V_{i} =I$$

即为该三重积分的值。

三重积分的符号表示为：

$$\iiint _ {\Omega}f(x,y,z)dV$$

其中积分号 $\iiint$ 表示对积分区域V中的所有小体积求和，被积函数 $f(x,y,z)$ 表示小体积内的函数值，体积微元 $dV$ 表示小体积的大小，积分区域V表示对三维空间中的一个有界闭区域进行积分。

三重积分的存在性可以通过一定的条件保证，例如对于连续的函数f(x,y,z)在有界闭区域V上，其可积性是成立的，也就是说该三重积分存在。此外，若函数f(x, y, z) 是有界闭区域V上的有界函数，且其仅在V内有限条光滑曲面上间断，而在V的其余部分均连续，那么仍然有f(x,y,z)$\in$R(V)，即该三重积分存在。

---

重积分的性质

1. 线性性质

若函数 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 在 $D$ 上可积，$\alpha$，$\beta$ 为常数，则 $\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)$ 在 $D$ 上可积，且有

$$\iint_D (\alpha f(x,y)+\beta g(x,y))d\sigma=\alpha\iint_D f(x,y)d\sigma+\beta\iint_D g(x,y)d\sigma$$

2. 积分区域的可加性

设 $D=D_1\cup D_2$，且区域 $D$ 与 $D_2$ 无公共内点，则函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积当且仅当它在 $D_1$ 和 $D_2$ 上可积，并且有

$$\iint_D f(x,y)d\sigma=\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2} f(x,y)d\sigma$$

3. 保序性

若函数 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 在 $D$ 上可积且 $f(x,y)\leq g(x,y)$，则有

$$\iint_D f(x,y)d\sigma\leq \iint_D g(x,y)d\sigma$$

• 推论 1：若函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积且非负，则有

$$\iint_D f(x,y)d\sigma\geq 0$$

• 推论 2：若函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，则它的绝对值函数 $|f(x,y)|$ 也在 $D$ 上可积，并且有

$$\bigg|\iint_D f(x,y)d\sigma\bigg|\leq \iint_D |f(x,y)|d\sigma$$

• 推论 3：若函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积且 $m\leq f(x,y)\leq M$，则有

$$mA_D\leq \iint_D f(x,y)d\sigma\leq MA_D$$

其中 $A_D$ 表示积分区域 $D$ 的面积。

4. 积分中值定理

若函数 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则在 $D$ 中至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使得

$$\iint_D f(x,y)g(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\iint_D g(x,y)d\sigma$$

特别地，当函数 $g(x, y)=1$ 时，有

$$\iint_D f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)A_D$$

所以 $f(\xi,\eta)$ 称为函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的平均值。