多元积分学 [3]

对应《大学数学 微积分 下》：“10.1第一类曲线积分和第一类曲面积分”

本篇内容

• 第一类曲线积分的概念和计算
• 第一类曲面积分的概念和计算

第一类曲线积分

1. 概念

第一类曲线积分用于计算沿着曲线的路径上的函数值。简单来说，它是一种将函数沿着曲线进行积分的方法^[1]。

具体来说，第一类曲线积分计算沿着曲线的路径上的函数值。这个路径可以是平面上的曲线，也可以是三维空间中的曲线。对于一个函数 $f(x,y)$，它的第一类曲线积分可以用以下公式表示：

$$\int_C f(x,y) ds$$

其中，$C$ 是曲线，是 积分路径 ，$s$ 是曲线的弧长， $ds$ 就是 弧长微元，$f(x,y)$ 是沿着曲线积分的函数，是 被积函数 。

这个公式可以理解为将曲线 $C$ 上的每个点 $(x,y)$ 对应函数值 $f(x,y)$ 与曲线的弧长 $ds$ 相乘，并将所有这些乘积相加起来得到的结果。从几何角度来看，在这个例子中，我们求出了一个垂直于 $xoy$ 平面的曲面的面积。

举一个例子来理解：

假设你在玩一个游戏，需要穿越一个迷宫到达终点。在迷宫中，有一些箭头指示你应该往哪个方向走。如果你顺着箭头走，那么你会按照箭头指示的方向行进，这就好比在沿着曲线进行积分。

在这个例子中，箭头代表的是曲线，指示你沿着哪个方向前进。你走过的路程就好比曲线的弧长，而在每个点上你看到的数字则可以看做是沿着这条路径进行积分的函数值。最终，你将会在迷宫的终点获得一个积分值，这就是你通过整个迷宫过程中的所有函数值之和。

2. 计算

让我们来看一个具体的例子，来计算第一类曲线积分：

假设我们要计算函数 $f(x,y)=x+y$ 沿着曲线 $C$ 的第一类曲线积分，其中 $C$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的线段。

首先，我们需要将曲线 $C$ 参数化。由于曲线是从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的线段^[2]，我们可以使用下面的参数方程：

$$x=t, \quad y=t, \quad 0 \leq t \leq 1$$

接下来，我们需要计算 $f(x,y)=x+y$ 在曲线 $C$ 上的值，也就是 $f(t,t)=2t$。然后我们需要计算曲线 $C$ 的弧长 $ds$。这个弧长可以用下面的公式计算：

$$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$$

由于我们已经使用了参数方程，因此可以计算出 $dx$ 和 $dy$，然后将它们代入上面的公式中。这将得到：

$$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{(dt)^2+(dt)^2}=\sqrt{2}\,dt$$

最后，我们将 $f(t,t)=2t$ 乘以弧长 $\sqrt{2}\,dt$，并在 $t$ 的范围内进行积分：

$$\int_C f(x,y) ds = \int_0^1 (2t) (\sqrt{2}\,dt) = \sqrt{2}$$

因此，函数 $f(x,y)=x+y$ 沿着曲线 $C$ 的第一类曲线积分的值为 $\sqrt{2}$。

总结一下就是：通过参数方程把曲线函数变成单变量函数，然后就可以把积分的上下限用参数变量替代，接着整个积分就变成了单变量积分。

3. 性质

线性性

当我们说一个数学概念是线性的时，通常是指它满足加法和标量乘法的两个性质，也就是：

1. 加法性质：对于任意两个函数 $f$ 和 $g$，以及任意常数 $k$，有：

   $$\int_C (f+g)\, ds = \int_C f\, ds + \int_C g\, ds$$

2. 标量乘法性质：对于任意函数 $f$ 和任意常数 $k$，有：

   $$\int_C (k\,f)\, ds = k\int_C f\, ds$$

那么，第一类曲线积分也满足这两个性质，因此可以说它是线性的。

当我们计算第一类曲线积分时，可以利用这个性质将积分分解成更简单的部分，使得计算更加容易。

路径可加性

当一个积分满足路径可加性时，意味着积分的结果仅与曲线的起点和终点有关，而与曲线的具体路径无关。

具体来说，对于两条曲线 $C_1$ 和 $C_2$，假设它们首尾相接，那么路径可加性可以表示为：

$$\int_{C_1+C_2} f\, ds = \int_{C_1} f\, ds + \int_{C_2} f\, ds$$

其中，$C_1+C_2$ 表示曲线 $C_1$ 和曲线 $C_2$ 的连接线。

路径可加性是一种非常重要的性质，因为它允许我们将曲线积分的计算简化为几个简单的步骤。例如，假设我们想要计算一个曲线积分，但是曲线非常复杂，我们无法直接计算它。我们可以通过将曲线分成几个较小的曲线段，并分别计算每个曲线段的积分来近似计算整个积分。然后，通过路径可加性，我们可以将这些小曲线段的积分相加，得到整个曲线的积分值。

需要注意的是，并非所有的曲线积分都具有路径可加性。只有当被积函数 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上是连续的时，曲线积分才具有路径可加性。因此，在使用路径可加性进行计算时，需要先判断函数的连续性。

中值定理

中值定理是曲线积分中的一个重要定理，它是微积分中的基本定理的推广。中值定理表明，如果一个函数在曲线 $C$ 上是连续的，则曲线积分的值等于在曲线上某点处函数值乘以曲线长度的积分。

具体来说，设 $C$ 是一条可求长的光滑曲线，$f(x,y)$ 在 $C$ 上连续，则存在一个点 $(x_0,y_0)$，使得：

$$\int_C f(x,y)ds=f(x_0,y_0)\cdot l(C)$$

其中，$l(C)$ 表示曲线 $C$ 的长度。

因为用参数变量代表的其实就是曲线的弧长，所以把积分形成的曲面拉直之后，就和单变量积分的时候相同，总是存在一个高，乘以底长（弧长）会等于图像的面积。

中值定理表明了在曲线积分中，被积函数在某个点处的值与整个积分的值之间存在某种关系。这种关系可以帮助我们计算一些比较复杂的曲线积分。

需要注意的是，中值定理的前提条件是函数 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上连续。如果函数在曲线上不连续，那么中值定理就不成立。

第一类曲面积分

1. 概念

第一类曲面积分（也称为“曲面上的标量场积分”）是将一个标量函数沿着曲面进行积分。简单来说，就是将一个函数的值在曲面上所有点上的积分相加起来。

在进行第一类曲面积分时，需要先将曲面分成很多很小的曲面片，然后对每个曲面片上的标量场进行积分，最后将所有曲面片的积分结果相加得到整个曲面上的积分结果。

具体来说，第一类曲面积分的公式为：

$$\iint_S f(x, y, z)\mathrm{d}\mathbf{S}$$

其中，$S$ 表示曲面， $f(x, y, z)$ 表示要积分的标量函数，$\mathrm{d}\mathbf{S}$ 表示曲面面积微元。

它的实际意义和三重积分类似，当一个曲面在每个点上质量不均衡时，能够求一个曲面的质量；或者，例如在物理中，一个曲面物体的电荷分布符合某个三元函数，可以用它来求其带有电荷的总量。

2. 计算

计算第一类曲面积分的方法与计算第一类曲线积分类似，都需要对曲面进行参数化，并将积分转化为对参数的积分。

假设要计算的曲面为 $S$ ，可以用参数化的方式表示为：

$$\mathbf{r}(u, v) = (\ x(u, v),\ \ y(u, v),\ \ z(u, v)\ )$$

其中， $(u,v)$ 为参数， $x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)$ 为参数函数。

则第一类曲面积分的计算公式为：

$$\iint_S f(x,y,z) dS = \iint_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \cdot |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| du dv$$

其中， $D$ 为参数域， $\mathbf{r}_u$ 和 $\mathbf{r}_v$ 是 $\mathbf{r}$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数， $|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|$ 是它们的叉积的模长，熟悉叉积的人就明白这里求出了两个向量形成的平行四边形的面积。

简单来说，计算第一类曲面积分需要进行以下步骤：

1. 将曲面用参数化方式表示，并确定参数域 $D$ ；
2. 求出参数函数的偏导数 $\mathbf{r}_u$ 和 $\mathbf{r}_v$ ，计算叉积 $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ 的模长；
3. 将要积分的函数 $f(x,y,z)$ 用参数表示，即将 $f(x,y,z)$ 替换为 $f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ ；
4. 将上述结果代入第一类曲面积分的公式中，并进行参数积分。

需要注意的是，第一类曲面积分的计算过程相对较为复杂，通常需要一些数学技巧和计算方法。因此，在实际应用中，可能需要使用数学软件或工具来帮助计算。

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1. 1.普通的积分是在一段区间上进行积分。这意味着第一类曲线积分需要考虑曲线的路径，而普通的积分只需要考虑区间的起点和终点。 ↩
2. 2.直线也属于曲线 ↩