1. 定义#

其实全微分就是给多元函数的微分的特殊称谓¹。

全微分是指一个函数的函数值在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数来计算出来的微分形式。

具体地说，设一个二元函数 $f(x,\ y)$，那么它的全微分可以被表示为： $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ 其中 $dx$ 和 $dy$ 分别表示 $x$ 和 $y$ 的微小变化量。

这个式子可以理解为，全微分是由函数在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的微小变化量加权得到的。

稍加观察我们能发现函数 $f$ 在点 $(x_0,\ y_0)$ 的全微分就是 $\Delta f$ 对于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的线性近似²

需要注意的是，只有所有偏导数都连续的函数（函数在该区间内连续可微）才能有全微分，否则全微分不存在。这其实就是多元函数可微，可导和可偏导的关系，我们在接下来更有条理的叙述这点。

2. 可微，可导和可偏导的关系#

针对点

• 可微 $\longleftrightarrow$ 可导

因为导数就是增量除以微分；增量必定能存在，所以只要微分存在，导数就存在

• 可偏导 $\longleftrightarrow$ 可微

对于每个变量都是可偏导的，那么根据全微分的定义，此时全微分存在

• 总结：可偏导 $\longleftrightarrow$ 可微 $\longleftrightarrow$ 可导

针对域

• 均可微 $\longrightarrow$ 函数连续

只有连续的函数才能做到均可微

• 导数连续 $\longleftrightarrow$ 均可微

均连续就意味着在这个域中每个点都是可导的，那么每个点都是可微分的

• 偏导数均连续 $\longleftrightarrow$ 均可微

均连续就意味着在这个域中每个点都是可偏导的，那么每个点都是可微分的

• 总结： 偏导数均连续 $\longleftrightarrow$ 导数连续 $\longleftrightarrow$ 均可微 $\longrightarrow$ 函数连续

3. 全微分的几何意义#

正如前文所说，全微分是全增量关于两个自变量的线性近似，所以我们可以得到全微分的近似计算公式。

假设有一个二元函数 $f(x,\ y)$，并且 $f(x,\ y)$ 在某一点 $(x_0,\ y_0)$ 处连续可微，那么它在该点的全微分可以近似表示为：

$df = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,\ y_0) \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,\ y_0) \Delta y$

需要注意的是，这个公式只是一个近似值，并且只在 $(x_0,\ y_0)$ 点附近有效。当增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 很小的时候，这个公式的误差可以忽略不计；因此要比较准确地计算全微分，需要令 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 趋近于零。

根据这个公式，我们可以窥见全微分的几何意义：全微分的几何意义是微小的平面区域，即微元。

我们来推演一下其由来：

对于二元函数 $f(x,\ y)$，全微分 $df$ 的向量$(dx,\ dy)$在点 $(x,\ y)$ 附近可以看做是一个平面的法向量，该平面是通过点 $(x,\ y,f(x,y))$ 的函数曲面的切平面。这个切平面描述了函数在该点的局部变化率。

对于微小增量 $(dx,\ dy)$，$df$ 等于切平面的法向量与增量的点积，即：

$df = \nabla f \cdot d\mathbf{r} = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

其中，$\nabla f$ 是函数 $f$ 的梯度，即 $(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y})$，$d\mathbf{r}$ 是微小增量 $(dx,\ dy)$ 的向量形式。这个式子可以解释为：当 $(dx,\ dy)$ 增加时，函数值的变化率等于切平面法向量与增量向量的点积。

从几何上来看，全微分可以看做是函数 $f(x,\ y)$ 在 $(x,\ y)$ 点附近的一个微小平面区域的切平面的法向量乘以微小增量的内积。也就是说，全微分 $df(x,\ y)$ 表示的是函数 $f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 处沿着微小平面区域的方向的微小变化率。